Mari Berbagi walaupun hanya sekedar Informasi

Berbagi informasi tentang segala hal positif

Transformasi Laplace

leave a comment »

Transformasi laplace adalah metode transformasi yang digunakan untuk penyelesaian persamaan diferensial yang digagas oleh Piere Simon Laplace. Pierre Simon Laplace pertama kali mengembangkan transformasi ini memang hanya bermaksud untuk mempermudah penyelesaian persamaan deferensial dalam matematik. Perkembangannya transformasi laplace banyak digunakan di bidang fisika, optik, kendali dan pengolahan sinyal. Transformasi laplace digunakan untuk penyelesain sistem linier tidak ubah waktu (LTI).

Pada rangkaian listrik, devais optik, sistem kendali kita dapat menganalis menggunakan transformasi laplace. Contoh sederhananya adalah pada rangkaian listrik dengan sumber tegangan v(t) dihubungkan dengan saklar on off dengan induktor, resistor dan kapasitor secara seri. Apabila terjadi perubahan arus saat saklar dari kondisi terbuka kemudian di tutup maka akan didapatkan persamaaan deferensial integral sebagai berikut

v(t)=i(t)R+L.di(t)/dt+(1/C)Integral(I(t)dt

dengan menerapkan deferensial pada kedua suku maka akan didapatkan

v'(t)=L.i”(t)+R.i'(t)+i(t)/C

Persamaaan deferensial tersebut dengan mudah dapat diselesaikan dengan transformasi Laplace. Transformasi laplace sendiri mempunya rumusan sebagai berikut
F(s)=L{f(t)}= integral seluruh waktu ( f(t)e^(-st))dt
Untuk laplace satu sisi:
F(s)=L{f(t)}= integral dari nol sampai tak hingga ( f(t)e^(-st))dt
dengan s=a+jw

Laplace dari sebuah sistem atau suatu sinyal bisa dihitung dengan rumusan tersebut. Tabel laplace dapat mempermudah untuk mendapatkan transformasi laplace dari suatu sinnyal atau sistem. Kita tinggal memakai acuan dalam tabel untuk menentukan tranformasi laplace maupun transformasi balik laplace.

Transformasi laplace digunakan untuk penyelesain sistem waktu kontinyu. Transformasi laplace dari tanggapan impuls sistem h(t) akan menhasilkan H(s) yang dikenal sebagai transfer function atau fungsi alih sistem. Analasis terhadap fungsi alih sistem adalah salah satu metode analisis sistem. Pemodelan sistem kontinyu biasaya dilakukan dalam kawasan s.

Transformasi laplace digunakan untuk menganalis dan mencari solusi dari sebuah sistem. Pada contoh rangkaian listrik yang disebutkan diatas dengan mudah kita dapat melihat di tabel dan melaplacekan tiap suku dari persamaan tersebut sehingga didapatkan
V(s)=L.(s^2.I(s)+s.i(0)+i'(0)) + R(s.I(s)-i(0)) +(1/C)I(s)
Dengan anggapan kondisi awal adalah nol dan i(t) adalah keluaran maka didapatan fungsi alih sistem
H(s)= 1/(L.s^2 + R.s +1/C)

Sebagai contoh lainnya, dalam bidang teknik kendali kita dapat melakukan simulasi input output sebuah sistem yang kita bangun. misalkan kita ingin membangun suatu sistem penampungan limbah dengan tiga buah tangki pemroses limbah dengan satu masukan dari sistem pembuangan limbah yang dapat diatur volume yang masuk. Laju dari tangki satu ke tangki lainnya juga dapat diatur. Maka secara sederhana kita dapat memodelkan sistem tersebut dengan menggunakan analogi rangkaian R L dan C. Kapasitas dapat diwakili dengan C, katup pengatur tiap tangki dapat diwakili dengan R. Laju masukan limbah dapat diwakili dengan Q1 dan laju keluaran limbah dapat diwakili dengan Q2. Maka dengan menelusuri dari tangki pertama dengan menganalisa hubungan masukan dan keluaran dari tangki tersebut dan karakteristiknya akan didapatkan suatu fungsi alih H1(s) yang merupakan representasi hubungan input outpu dari tangki pertama. Keluaran tangki pertama akan menjadi masukan tangki kedua sehingga sistem ini dapat dikategorikan sebagai sistem cascade. Dengan menganalisnya maka kita juga akan mendapatkan H2(s) sebagai fungsi alih tangki kedua, demikian halnya dengan tangki ketiga. Dengan menggabung komponen-komponen kecil dari penyusun sistem tersebut maka kita akan dapatkan diagram blok sistem dalam representasi s.

Diagram blok sistem tersebut dengan mudah dapat kita selesaikan menggunakan aljabar diagram blok untuk mendapatkan fungsi alih sistem secara keseluruhan. Apabila fungsi alaih sistem sudah didapatkan maka analisis terhadap sistem akan menjadi mudah. Kita dapat mengetes sistem tersebut terhadap beberapa masukan untuk mendapatkan keluarannya.

Pemodelan sistem dan analis sistem melalui simulasi menjadi sangat penting karena prototipe tanpa didahului pemodelan dan analisis terhadap model akan membuat peluang kegagalan protipe besar. Dan hal ini akan memakan biaya banyak. Bisa dibayangkan berapa biaya jika pembangunan sebuah pengolah limbah seperti pada contoh yang dikemukan langsung pada trial error sistem nyata. Bahkan untuk prototyping saja sudah memakan biaya banyak. Tentunya hal yang murah adalah pemodelan sistem dan uji coba komputer based karena perubahan nilai parameter desain semudah mengetikkan angka baru nilai parameter tersebut tanpa biaya apapun kecuali biaya license software jika software design menggunakan software komersial.

Dengan berkembangnya metode numeris yang sangat pesat, maka analisis sebuah sistem yang berbasis fungsi alih sistem dalam s dapat dikerjakan dengan software seperti Matlab dan Scilab. Dengan leluasa kita bisa membuat model sistem dengan simulink dan mengamati karakteristik sistem dengan berbagai masukan tes. Dasar-dasar transformasi laplace menjadi sangat penting untuk mendapatkan pemahaman yang komprehensif sehingga dapat memodelkan sistem dengan baik. Mengenai syntax akan dengan mudah dikuasai jika kita mencoba. Mungkin bagi yang belum pernah dapat mencoba dengan membaca help dari syntax lti dan tf. Pemodelan sistem juga dapat dilakukan dengan membuat sistem dengan simulink yang tersedia pada Matlab. Yang harus dipahami adalah penurunan dari karakteristik fisik atau elektronik ke model sistem.

Demikian sedikit penjelasan tentang transformasi laplace dan kegunaannya.

Ditulis oleh:
Dhidik prastiyanto

referens:
Diktat Kuliah Sinyal dan Sistem (Dhidik Prastiyanto)

About these ads

Written by dhidikp

October 18, 2009 at 2:01 pm

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s

Follow

Get every new post delivered to your Inbox.

Join 29 other followers

%d bloggers like this: